PID算法

所谓的PID，指的是proportion，integration，differentiation，比例，积分，微分。

PID的基本思路是根据偏差量的大小，运用比例P、积分I、微分D计算出一个控制量 $u$ ，将这个控制量输入被控制的系统，系统接收到该输入量后会输出一个相应的输出量，PID控制器再检测该输出量，并再计算偏差，然后再循环以上过程。

$u(t)=K_p \Bigg( e(t)+\dfrac{1}{T_i}\int^t_0e(t)dt+T_d\dfrac{de(t)}{dt}\Bigg)$

$K_p$ —— 控制器的比例系数；
$T_i$ —— 积分时间常数；
$T_d$ —— 微分时间常数；
$u(t)$ —— PID控制器的输出信号；
$e(t)$ —— 给定值 $r(t)$ 与测量值之差。

公式可简化为：

对于离散值：

$u(t)=K_p * e(t) + K_i * \sum_{n=0}^t e(t) + K_d * (e(t) - e(t-1))$

$K_p$ —— 控制器的比例系数；
$K_i$ —— 控制器的积分系数；
$K_d$ —— 控制器的微分系数；
$u(t)$ —— PID控制器的输出信号；
$e(t)$ —— 给定值 $r(t)$ 与测量值之差。
$e(t-1)$ —— 上一次给定值 $r(t)$ 与测量值之差。

一些文档中：

$K_i=K_p*\dfrac{T}{T_i}$
$K_d=K_p*\dfrac{T_d}{T}$
$T_i$ 为控制器的积分时间，也称积分系数， $T_d$ 为控制器的微分时间，也称微分系数。以 $T$ 作为采样周期

对于连续值：

$u(t)=K_p \, e(t) + K_i \int^t_0e(\tau)d\tau + K_d \, \dfrac{de(t)}{dt}$

PID是一种闭环控制系统，闭环控制（Closed Loop Control System）：需要将控制的结果反馈回来与希望值比较，并根据它们的误差调整控制作用的系统。例如：

调节水龙头——首先在头脑中对水流有一个期望的流量，水龙头打开后由眼睛观察现有的流量大小与期望值进行比较，并不断的用手进行调节形成一个反馈闭环控制；
骑自行车——同理，需要不断的修正行进的方向与速度形成闭环控制。

闭环控制系统通常会由以下6个环节组成。

我们拿“维持水缸水位高度在1米”为例，来详解闭环控制中的每个环节：

传感器：人工测量当前水位高度
目标量：维持水缸水位高度在1米
偏差量：目标量 - 当前水位高度
控制器：根据偏差量计算出执行量
执行量：传给执行器的入参
执行器：人工用水桶向水缸中加水

其中传感器、目标量、偏差量、执行量、执行器 这5个环节都比较简单，一眼就能看明白意思。最关键的环节控制器相对复杂一些，在控制器环节选择不同的控制算法，根据偏差量计算出执行量也不同。

各部分理解

以经典的注水问题为例。小明现在有一个任务：有个水桶，水桶的水位高度需要时刻保持1m，目前水桶的水是0.2m，小明采用比例的方式加水(即P)，即每次测量与1m 的误差，并加入与误差成比例的水量。

传感器：人工测量水缸初始水位高度是0.2米
目标量：维持水缸水位高度在1米
偏差量：1米 - 0.2米 = 0.8米
控制器：使用PID算法的比例控制，根据偏差量计算出执行量
执行量：传给执行器的入参
执行器：人工用水桶向水缸中加水

比例部分`P`

设 $K_p=0.5$ ，公式可以抽象为下式：

$执行量 = 比例P = 比例P系数\times 偏差量$

第一次的误差： $e(1)=1-0.2=0.8$ ，于是加入的水为 $K_p*e(1)=0.5\times0.8=0.4$ ，此时桶内水 $0.6$ 。

第二次的误差： $e(2)=1-0.6=0.4$ ，于是加入的水为 $K_p*e(2)=0.5\times0.6=0.3$ ，此时桶内水 $0.9$ 。

第三次的误差： $e(3)=1-0.9=0.1$ ，于是加入的水为 $K_p*e(3)=0.5\times 0.1=0.05$ ，此时桶内水 $0.95$ 。

以此类推，不断加下去，通过P控制就可以将水加满到1。

上述例子比较简单，单靠比例P就能完成任务，但现实情况往往只有比例P是不够的，我们再来看一个更复杂的情况，假设比例P系数仍然是0.5，但在每次加水的间隔，水缸都会漏掉0.1米高度的水。我们再从头模拟加水实验，看看具体结果会怎样？

如上图结果所示，当水位达到0.8之后，水位就不会继续增加了。因为，当水位等于0.8时，偏差量是0.2，每次往水缸中加水的量为执行量= 比例P= 0.2 * 0.5 = 0.1，而每次加水的间隔，水缸都会漏掉0.1米高度的水，所以加入的水和流出的水相抵消。

虽然，此时控制系统已达稳定状态，但实际值与目标量之间的会存在一个稳定差值，这个差值叫稳态误差。稳态误差非常常见，比如：控制空调温度会因为空气温差而降温、控制无人机固定高度会受重力影响往下掉、控制汽车定速巡航会有空气阻力和摩擦力的影响而减速，这些场景都会产生稳态误差。

关于系统稳态误差，引用胡寿松老爷子自动控制原理一书中的描述：

控制系统的稳态误差，是系统控制准确度的一种度量，通常称为稳态性能。在控制系统设计中，稳态误差是一项重要的技术指标，对于一个实际的控制系统，由于系统结构，输入作用的类型(控制量或扰动量) ，输入函数的形式(阶跃，斜坡或加速度)不同，控制系统的稳态输出不可能在任何情况下与输入量一致，也不可能在任何形式的扰动作用下都能准确地恢复到平衡位置。此外，控制系统中不可避免的存在摩擦，间隙，不灵敏区，零位输出等非线性因素，都会造成附加稳态误差。因此，控制系统的稳态误差是不可避免的，控制系统设计的任务之一，就是尽量减小系统的稳态误差，或者使稳态误差小于某一容许值。显然，只有当系统稳定时，研究稳态误差才有意义。对于不稳定系统而言，根本不存在研究稳态误差的可能性。

单单只用比例P控制闭环回路，是无法避免稳态误差问题的，因为比例P系数无法根据时间或次数累加，当存在外界干扰因素时，比例P系数无法动态调整大小，那么稳态误差就会一直存在。

假如我们引入时间的维度，就能获得2个神器 增幅器-积分I 和 抑制器-微分D，他们分别解决比例P过小和过大的情况，比例P过小的话由增幅器-积分I 补充即可解决稳态误差问题，比例P过大由抑制器-微分D消减来防止过度震荡。

积分部分 `I`（增幅器）

$K_i * \sum_{n=0}^t e(t)=K_i * \sum_{n=0}^{t-1} e(t)+K_i \times e(t)$

我们先来看看增幅器积分I，它也可以理解为累加经验，当比例P过小，可以由积分I补充，它的原理是利用过去的时间不断累加。具体公式可抽象为：

$比例P = 比例P系数\times 偏差量(前文介绍的比例部分)\\ 积分I = 上一次积分I + 积分I系数\times 偏差量\\ 执行量 = 比例P + 积分I$

想象一下，如果用只比例P控制存在稳态误差，说明比例P过小，这时积分I就会不断累加到一个很大的值，来补充比例P，从而影响执行量。

如果最终控制效果在目标量附近抖动，我们就能得到一个正负交替的偏差量，会在目标附近不断产生正负数累加到积分I，积分I就会不断趋近于零，最终使控制效果趋于稳定。

仍然是上面的例子， $K_i=0.2$

第一次，误差为 $e(1)=0.8$ , 比例部分 $Kp*e(1)=0.4$ , 积分部分 $K_i*e(1)= 0.16$ ，加入水量 $u$ 为 $u(1)=0.4+0.16=0.56$ . 最终水位 $0.2+0.56-0.1= 0.66m$

第二次，误差为 $e(2)=0.34$ ，比例部分 $Kp*e(2)=0.17$ ，积分部分 $Kp*(e(1)+e(2))= 0.23(0.228)$ ，加入水量 $u$ 为 $0.17+0.23=0.4$ 。最终水位 $0.66+0.4-0.1=0.96m$

以此类推：

上一轮实验只用比例P控制存在稳态误差。本轮实验加入了积分I之后就有了累加效果，在未达到控制效果之前积分I会持续累加，在达到目标量之后积分I因为惯性会继续过量控制，同时偏差量会由正转负再转正，积分I也会由正转负再转正，最终积分I会持续抵消掉每次漏水0.1，控制效果趋于稳定。

增幅器有他的危险性，如果系统出现意外或错误，增幅器可能会被累加到无限大，导致系统不可用，所以增幅器需要有一定的限制。

限制幅度，在任意时刻都给积分I设定最大值和最小值。
不运行时清零，当系统判断没有运行时，主动将积分I清零。

微分部分 `D` （抑制器）

前面我们已经分析了，积分环节能消除稳态误差，但是积分环境又会带来另外一个问题：积分环节会带来惯性。而且随着 $K_i$ 值的变大，惯性也会边大，也就是前面提到的在达到目标量之后积分I因为惯性会继续过量控制。

为了消减惯性，我们引入微分运算，也就PID中的D。抑制器微分D，它也可以理解为预测未来，用当前的偏差量减上一次偏差量，得到的结果就可能是下一次偏差量，用下一次偏差量提前参与到计算中，就可以防止执行量过大，产生超出目标量的问题。具体公式可抽象为：

$比例P = 比例P系数\times 偏差量(比例部分)\\ 积分I = 上一次积分I + 积分I系数\times 偏差量(积分部分)\\ 微分D = 微分D系数\times (偏差量 - 上一次偏差量) (微分部分)\\ 执行量 = 比例P + 积分I + 微分D$

换个“汽车刹车”的例子，平稳驾驶的车辆，当发现前面有红灯时，为了使得行车平稳，基本上提前几十米就松油门踩刹车。当车辆离停车线非常近的时候，则使劲踩刹车使车辆停下来，整个过程可以看做一个加入微分D的控制策略。

可以看到，在刹车过程中，因为偏差量是越来越小的，所以 $微分D= 微分D系数\times (偏差量-上一次偏差量)$ 一定是负数，在控制中加入一个负数项，他存在的作用就是为了防止汽车由于刹车不及时而闯过停车线。

从常识上理解，越靠近停车线，就越应该踩深刹车，不能让车过线，所以这个 微分D的作用，可以理解为刹车。当车离停车线很近，并且车速还很快时，这个 微分D的绝对值（实际上是一个负数）就会很大，表示应该大力踩刹车尽快让车停下来。

再回到上面“水缸加水”的例子，当发现水缸里的水快要接近目标量时，加入 微分D可以减少过量加水的幅度，说白了就是减少控制过程中的震荡。假设 $K_d=0.2$ ，我们再从头模拟加水实验，具体数值如下。

第一次: 误差为 $e(1)=0.8$ ，比例部分 $Kp*e(1)=0.4$ , 积分部分 $K_i*e(1)= 0.16$ ，微分部分 $K_d*(e(1)-0)=0.16$ ，所以加入水量 $u$ 为 $0.4+0.16+0.16=0.72$ . 最终水位 $0.2+0.72-0.1= 0.82m$

第二次: 误差为 $e(2)=0.18$ ，比例部分 $Kp*e(2)=0.09$ ,积分部分 $Kp*(e(1)+e(2))= 0.2$ ，微分部分为 $K_d*(e(2)-e(1))=-0.12$ ，加入水量 $u$ 为 $0.18+0.2-0.12=0.26$ 。最终水位 $0.72+0.26-0.1=0.88m$

上一轮实验使用比例P和积分I联合控制，最高水位达到1.3，超过目标量之后，水位最低回落至0.83。本轮实验加入了抑制器微分D之后，最高水位仅达到1.23，超过目标量之后，水位最低回落至0.88，相比上一轮实验，本轮震荡幅度明显减小，这就是微分D的抑制作用。

分享一个动图，很好的展示了比例P、积分I、微分D的控制效果，其中红色虚线是目标量，曲线是用当前值的变化趋势。

总结与调参

比例P、积分I、微分D都跟偏差量有关
比例P取决于当前的偏差量
积分I累计过去所有偏差量之和
微分D预测下一时刻偏差量

PID调参口诀

参数整定找最佳，从小到大顺序查；
先是比例后积分，最后再把微分加；
曲线振荡很频繁，比例度盘要放大；
曲线漂浮绕大湾，比例度盘往小扳；
曲线偏离回复慢，积分时间往下降；
曲线波动周期长，积分时间再加长；
曲线振荡频率快，先把微分降下来；
动差大来波动慢。微分时间应加长；
理想曲线两个波，前高后低4比1；
一看二调多分析，调节质量不会低；
若要反应增快，增大P减小I;
若要反应减慢，减小P增大I；
如果比例太大，会引起系统振荡；
如果积分太大，会引起系统迟钝。

增量PID

$u(t)=K_p * e(t) + K_i * \sum_{n=0}^t e(t) + K_d * (e(t) - e(t-1))\\ u(t-1)=K_p * e(t-1) + K_i * \sum_{n=0}^{t-1} e(t) + K_d * (e(t-1) - e(t-2))\\$

$\begin{aligned} \Delta u &=u(t)-u(t-1)\\ &=\bigg(K_p * e(t) + K_i * \sum_{n=0}^t e(t) + K_d * (e(t) - e(t-1))\bigg)-\bigg(K_p * e(t-1) + K_i * \sum_{n=0}^{t-1} e(t) + K_d * (e(t-1) - e(t-2))\bigg)\\ &=K_p\big(e(t)-e(t-1)\big) + K_i * e(t)+K_d*\big(e(t)+e(t-2)-2*e(t-1)\big)\\ &=\big(K_p+K_i+K_d)*e(t)+(-K_p-2*K_d)*e(t-1)+K_d*e(t-2)\\ &=A*e(t)+B*e(t-1)+C*e(t-2) \end{aligned}\tag1$

其中 $K_i=K_p*\dfrac{T}{T_i}$ ， $K_d=K_p*\dfrac{T_d}{T}$ ，故：

$\begin{aligned} A &=K_p+K_i+K_d\\ &=K_p(1+\dfrac{T}{T_i}+\dfrac{T_d}{T})\\ B &=-K_p-2*K_d\\ &=-K_p(1+\dfrac{2T_d}{T})\\ C &=K_p*\dfrac{T_d}{T} \end{aligned}$